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<!DOCTYPE html>

<title>Prävalenzfehler</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Prävalenzfehler</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Als <b>Prävalenzfehler</b> bezeichnet man den Fehler, der entsteht, wenn die Bestimmung der <a href="Bedingte_Wahrscheinlichkeit" title="Bedingte Wahrscheinlichkeit">bedingten Wahrscheinlichkeit</a> einer <a href="Statistische_Variable" title="Statistische Variable">statistischen Variable</a> <i>A</i> unter einer Bedingung <i>B</i> ohne Rücksicht auf die <a href="Pr%C3%A4valenz" title="Prävalenz">Prävalenz</a> oder <a href="A-priori-Wahrscheinlichkeit" title="A-priori-Wahrscheinlichkeit">A-priori-Wahrscheinlichkeit</a> von <i>A</i> vorgenommen wird. Die Prävalenz bezeichnet die Verteilung von <i>A</i> über die in Frage stehende <a href="Grundgesamtheit" title="Grundgesamtheit">Grundgesamtheit</a> und wird auch als <i>Basisrate</i> bezeichnet. Der <i>Prävalenzfehler</i> wird daher auch als <i>Basisratenfehler</i>, als <i>Basisratenmissachtung</i> oder als <i>Base Rate Fallacy</i> bezeichnet. Für <i>A</i> und <i>B</i> kommen Ereignisse, aber auch Eigenschaften in Frage, der Fehler ist ein allgemeines Phänomen bei der Interpretation von statistischer <a href="Korrelation" title="Korrelation">Korrelation</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<p>Dieser Sachverhalt ist besonders gut durch Beispiele aufzuzeigen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel_1">Beispiel 1</h3></div>

<p>Wenn gefragt wird, ob eine zurückhaltende und schüchterne Person eher den Beruf eines Bibliothekars oder eines Verkäufers ausübt, antworten die meisten Menschen Bibliothekar. Da es aber sehr viel mehr Verkäufer als Bibliothekare gibt, üben auch unter den als schüchtern beurteilten Personen tatsächlich mehr Personen den Beruf des Verkäufers aus als den des Bibliothekars.<br>

Auch der <a href="Verkn%C3%BCpfungs-Fehlschluss" class="mw-redirect" title="Verknüpfungs-Fehlschluss">Verknüpfungs-Fehlschluss</a> beruht darauf, dass Unterschiede in der Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht berücksichtigt werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel_2">Beispiel 2</h3></div>

<p>Die dargestellte Stichprobe ergab, dass in einem Krankenhaus mehr gegen <a href="COVID-19" title="COVID-19">COVID-19</a> geimpfte Personen behandelt werden mussten als Ungeimpfte. Dennoch wäre es ein <a href="Fehlschluss" title="Fehlschluss">Fehlschluss</a>, anzunehmen, dass die Impfung zu einem höheren Risiko führt, entsprechend schwer an COVID-19 zu erkranken. Die Gesamtdarstellung zeigt, dass dieses Risiko aufgrund der sehr viel höheren Zahl von geimpften Personen in der Bevölkerung tatsächlich deutlich geringer ist.<br>Werden bei einer Risikoabschätzung die Verhältnisse in Bezug auf die Grundgesamtheit nicht berücksichtigt, spricht man von einem Prävalenzfehler.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel_3">Beispiel 3</h3></div>

<p>Die meisten Toten bei einem Verkehrsunfall sind angeschnallt und nüchtern (< 0,5 Promille). Vernachlässigt man, dass mehr als 90 Prozent aller Autofahrer angeschnallt und nüchtern sind, käme man zum Schluss, dass es besser ist, betrunken zu fahren und sich nicht anzuschnallen, will man überleben.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Rechenbeispiel">Rechenbeispiel</h2></div>

<p>In Anlehnung an Lindsey/Hertwig/Gigerenzer.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

Die Vermutung, dass durch einen <a href="DNA-Test" class="mw-redirect" title="DNA-Test">DNA-Test</a> zweifelsfrei eine Person anhand von Spuren identifiziert werden kann, beruht auf zwei Prävalenzfehlern.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Annahmen">Annahmen</h3></div>

<p>Bei einem Verbrechen wird eine DNA-Spur am Opfer gefunden. Es liegen nur wenige weitere Hinweise vor:

</p>

<ol><li>10 Millionen Personen kommen prinzipiell als Urheber der Spur in Frage. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus dieser Gesamtheit herausgegriffene Person der Urheber ist, ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(U)={1}/{10^{7}}}">

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(U)={1}/{10^{7}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/000682daadc0de122c20546db3b16f27ca9df063.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.14ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle P(U)={1}/{10^{7}}}" loading="lazy"></span>.</li>

<li>Bei einer natürlichen Zufallsstreuung des DNA-Profils weisen ungefähr 10 der 10 Millionen in Frage kommenden Personen einen <a href="Genetischer_Fingerabdruck" title="Genetischer Fingerabdruck">genetischen Fingerabdruck</a> auf, der mit dem DNA-Profil der Spur am Opfer identisch ist, dieses bestimmte DNA-Profil hat also eine Prävalenz von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(D)={1}/{10^{6}}}">

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(D)={1}/{10^{6}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7271de0ecfe1c882f2d64bd44493329111cd5b83.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.282ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle P(D)={1}/{10^{6}}}" loading="lazy"></span>.</li>

<li>Der verwendete DNA-Test soll keine <a href="Beurteilung_eines_Klassifikators" class="mw-redirect" title="Beurteilung eines Klassifikators"><i>falsch negativen</i></a> Ergebnisse produzieren. Wenn eine Person das DNA-Profil der Spur aufweist, so stellt der Test auch eine Übereinstimmung fest. Sei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(A|B)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(A|B)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2133a4f7790e55022dcc8e9f889dfffe4b177c5e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.709ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(A|B)}" loading="lazy"></span> die <a href="Bedingte_Wahrscheinlichkeit" title="Bedingte Wahrscheinlichkeit">bedingte Wahrscheinlichkeit</a> von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> unter der Bedingung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"></span>, so ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(T|D)=1}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(T|D)=1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4b8292bb76f16074fbbe025d8deab66726a22b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.023ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(T|D)=1}" loading="lazy"></span>, das heißt, unter der Bedingung, dass das DNA-Profil vorliegt, ist der Test positiv.</li>

<li>Aber auch bei Personen, die dieses DNA-Profil nicht aufweisen, wird aufgrund einer kleinen, aber unvermeidlichen Testungenauigkeit von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(T|{\overline {D}})={1}/{10^{5}}}">

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(T|{\overline {D}})={1}/{10^{5}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb6a86bfcb5ce5e98c29a1d08fe2be48313febd5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.68ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle P(T|{\overline {D}})={1}/{10^{5}}}" loading="lazy"></span> (das ist eine Prävalenz von 1 in 100.000) trotzdem eine <i>falsch positive</i> Übereinstimmung festgestellt.</li></ol>

<p>Wie ist es zu bewerten, wenn im Rahmen einer DNA-<a href="Rasterfahndung" title="Rasterfahndung">Rasterfahndung</a> eine zufällig aus den 10 Millionen herausgegriffene Person positiv getestet wird?

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Folgen">Folgen</h3></div>

<ul><li>Der Test liefert, wenn alle 10 Millionen Personen getestet werden, in durchschnittlich 100 Fällen ein <a href="Beurteilung_eines_Klassifikators" class="mw-redirect" title="Beurteilung eines Klassifikators">falsch positives</a> Ergebnis. Dies ergibt sich aus der <a href="Bedingte_Wahrscheinlichkeit" title="Bedingte Wahrscheinlichkeit">bedingten Wahrscheinlichkeit</a> bzw. dem Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeitstheorie:</li></ul>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(T\cap {\overline {D}})=P({\overline {D}})\cdot P(T|{\overline {D}})=(1-P(D))\cdot P(T|{\overline {D}})=0{,}00000999999}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/82075c46fe877acd6dbbd36516884e83da958149.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:69.702ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle P(T\cap {\overline {D}})=P({\overline {D}})\cdot P(T|{\overline {D}})=(1-P(D))\cdot P(T|{\overline {D}})=0{,}00000999999}" loading="lazy"></span>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10\,000\,000\cdot P(T\cap {\overline {D}})\approx 100}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1befae40aa9fdea9e507e9c666ec2594f885df97.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.152ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle 10\,000\,000\cdot P(T\cap {\overline {D}})\approx 100}" loading="lazy"></span>

</p>

</td></tr></tbody></table>

<ul><li>Von den 10 Millionen Personen würden bei einer DNA-<a href="Rasterfahndung" title="Rasterfahndung">Rasterfahndung</a> insgesamt 110 positiv getestet. Die Prävalenz für den positiven Test <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(T)={110}/{10^{7}}=11\cdot {1}/{10^{6}}}">

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(T)={110}/{10^{7}}=11\cdot {1}/{10^{6}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/080a9d75fdeb8fd0bf632ab9a4e918007c5278b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.125ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle P(T)={110}/{10^{7}}=11\cdot {1}/{10^{6}}}" loading="lazy"></span> ist somit größer als die Prävalenz des DNA-Profils <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(D)={1}/{10^{6}}}">

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(D)={1}/{10^{6}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7271de0ecfe1c882f2d64bd44493329111cd5b83.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.282ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle P(D)={1}/{10^{6}}}" loading="lazy"></span>.</li></ul>

<ul><li>Aber das Ergebnis wäre nur in rund einem Elftel der Fälle korrekt. Obwohl die Wahrscheinlichkeit, dass der genetische Fingerabdruck einen positiven Test zur Folge hat, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(T|D)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(T|D)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/faa69aa32729eec1c87d91179e64752c59d66a85.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.762ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(T|D)}" loading="lazy"></span>, sogar 1 beträgt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass hinter einem positiven Test auch das DNA-Profil steht (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(D|T)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(D|T)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61e45f47a02e727d569676041179f38e9bc37077.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.762ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(D|T)}" loading="lazy"></span>) nach dem <a href="Satz_von_Bayes" title="Satz von Bayes">Satz von Bayes</a> und den berechneten relativen Häufigkeiten <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(D|T)={\tfrac {P(T|D)\cdot P(D)}{P(T)}}=1/11}">

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(D|T)={\tfrac {P(T|D)\cdot P(D)}{P(T)}}=1/11}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04bdd9a8f2e53706a25ccc4f5fa99f36a1a343c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:29.265ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle P(D|T)={\tfrac {P(T|D)\cdot P(D)}{P(T)}}=1/11}" loading="lazy"></span>. Wird also angenommen, dass ein positiver Test an einer zufällig ausgewählten Person eine gute Vorhersage für eine Übereinstimmung mit dem DNA-Profil der Spur ist, wird ein erster Prävalenzfehler begangen, bei dem <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(T|D)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(T|D)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/faa69aa32729eec1c87d91179e64752c59d66a85.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.762ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(T|D)}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(D|T)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(D|T)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61e45f47a02e727d569676041179f38e9bc37077.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.762ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(D|T)}" loading="lazy"></span> verwechselt wurden.</li></ul>

<ul><li>Der Urheber der Spur ist einer der 10 Träger des DNA-Profils. Es gilt also <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(D|U)={1}}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(D|U)={1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c72163e356f3f88c9b8c0e7cf940a010b231a5e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.169ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(D|U)={1}}" loading="lazy"></span>, aber zugleich <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(U|D)=1/10}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(U|D)=1/10}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33f5e91f74e42a409921b5c57ce60d12c470e2b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.657ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(U|D)=1/10}" loading="lazy"></span>. Obwohl der Urheber der Spur mit Sicherheit das DNA-Profil aufweist und er also mit Sicherheit positiv getestet würde, ist unter den gegebenen Voraussetzungen die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger positiver Testfall den Urheber bezeichnet, recht klein: Von 110 positiven Testfällen haben nur 10 das DNA-Profil <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(D|T)=1/11}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(D|T)=1/11}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6fd7236639ebd9bbace00a5aee588b59c1cf1e1f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.51ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(D|T)=1/11}" loading="lazy"></span>, und von diesen ist nur einer der Urheber:</li></ul>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(U|T)=P(D|T)\cdot P(U|D)=1/110=0{,}00{\overline {90}}=0{,}{\overline {90}}\,\%}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b9ff4511cf01389a473420ba1120059645c1d26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:56.322ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle P(U|T)=P(D|T)\cdot P(U|D)=1/110=0{,}00{\overline {90}}=0{,}{\overline {90}}\,\%}" loading="lazy"></span>.

</td></tr></tbody></table>

<ul><li>Im Vergleich dazu ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig positiv getestete Person nicht Urheber der Spur ist, sehr groß: Von 110 Testfällen sind 100 nicht Träger des Profils und 9 Träger, aber nicht die Urheber:</li></ul>

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<mfrac>

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</mstyle>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P({\overline {U}}|T)=P({\overline {D}}|T)+{\tfrac {P({\overline {U}}|D)\cdot P(D)}{P(T)}}=0{,}9{\overline {90}}=99{,}{\overline {09}}\,\%}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c599a320b2f8a41ce183f49aa5be4ffb6d7d1935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:51.964ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle P({\overline {U}}|T)=P({\overline {D}}|T)+{\tfrac {P({\overline {U}}|D)\cdot P(D)}{P(T)}}=0{,}9{\overline {90}}=99{,}{\overline {09}}\,\%}" loading="lazy"></span>.

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Auswertung">Auswertung</h3></div>

<p>Wird also behauptet, dass einer Person, die ohne Anfangsverdacht positiv getestet wurde, sicher auch der Urheber der DNA-Spur wäre, so liegt ein doppelter Prävalenzfehler vor, weil sowohl die Prävalenz des DNA-Profils als auch die des Markers, der zu positiven Testergebnissen führt, übersehen werden. Es werden also <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(U|T)}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(U|T)}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/406aebd37f47dd0551c14ae49fc3da65356c7c48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.62ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(U|T)}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(T|U)}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(T|U)}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bdb2efc0d6c7f5af7de93a758c96bbd429c52a40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.62ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(T|U)}" loading="lazy"></span> miteinander verwechselt. Obwohl es nahezu sicher ist, dass der Urheber der Spur positiv getestet wird, ist es unwahrscheinlich, dass ein beliebiger positiver Testfall der Urheber ist. Durch die Vertauschung werden die hohen Wahrscheinlichkeiten von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(T|{\overline {U}})}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(T|{\overline {U}})}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a197b0a2ee292a4aad6ac9c88eae76020b2ef9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.862ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle P(T|{\overline {U}})}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(T|{\overline {D}})}">

</mrow>

<mover>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(T|{\overline {D}})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bedc2e7e763d483ded38661ace0062f43db0fb44.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.877ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle P(T|{\overline {D}})}" loading="lazy"></span> unterschlagen.

</p><p>Der DNA-Test ist im Beispiel ungeeignet, eine ansonsten unverdächtige Person zu belasten. Liegt bereits eine Verdächtigung aufgrund anderer, von der Spur unabhängiger Umstände vor, so kann der Test aber den Verdacht erhärten oder zerstreuen. Seine Aussagekraft steigert sich, je kleiner die Grundgesamtheit der in Frage kommenden Urheber wird – im Beispiel ist diese mit 10 Millionen sehr groß –, jedoch nur so lange, wie sichergestellt werden kann, dass der Urheber der Spur noch in der Grundgesamtheit enthalten ist. Damit von einer Übereinstimmung auf eine Urheberschaft geschlossen werden kann, muss zuerst ein Kreis von Menschen gefunden werden, der objektiv in Frage kommt. Außerdem muss geprüft werden, ob der <i>Täterkreis</i> Personen mit DNA-Markern enthält, die dasselbe Vergleichsergebnis erzielen. Um die Sicherheit weiter zu erhöhen, kann versucht werden, die Fehlerrate des Tests zu senken.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Psychologische_Ergebnisse">Psychologische Ergebnisse</h2></div>

<p>Psychologische Experimente haben gezeigt, dass die Einschätzung der Wahrscheinlichkeit einer bestimmten statistischen Variable stark verzerrt wird und von der Prävalenz abweicht, sofern zuvor andere Eigenschaften des zu beurteilenden Falls bekannt waren, auch wenn diese keinen Vorhersagewert oder erklärenden Wert für das Auftreten von A besitzt.

</p><p>Nach <a href="Daniel_Kahneman" title="Daniel Kahneman">Daniel Kahneman</a> und <a href="Amos_Tversky" title="Amos Tversky">Amos Tversky</a> ist dieser Befund durch die <a href="Repr%C3%A4sentativit%C3%A4tsheuristik" title="Repräsentativitätsheuristik">Repräsentativitätsheuristik</a> zu erklären.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> <a href="Richard_Nisbett" title="Richard Nisbett">Richard Nisbett</a> hat dafür argumentiert, dass <a href="Attributionsfehler" title="Attributionsfehler">Attributionsfehler</a> wie z. B. der <i>correspondence bias</i> auf dem Prävalenzfehler beruhen: Die komplexe Prävalenzwahrscheinlichkeit eines Verhaltens in einer Situation wird zugunsten der einfacheren <a href="Attributionstheorien" title="Attributionstheorien">dispositionalen Attribution</a> ignoriert.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Bayesscher_Wahrscheinlichkeitsbegriff" title="Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff">Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff</a></li>

<li><a href="Induktion_(Philosophie)#Induktion_in_den_Sozialwissenschaften" title="Induktion (Philosophie)">Induktion in den Sozialwissenschaften</a></li>

<li><a href="Fehlschluss" title="Fehlschluss">Fehlschluss</a></li>

<li><a href="Confusion_of_the_Inverse" title="Confusion of the Inverse">Confusion of the Inverse</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur_und_Weblinks">Literatur und Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-abc.mpib-berlin.mpg.de/users/wassner/art1.html">Max-Planck-Institut für Bildungsforschung</a>, abgerufen im Dezember 2011</li>

<li>M. Bar-Hillel: <i>The base-rate fallacy in probability judgments.</i> In: <i>Acta Psychologica.</i> Band 44, Nr. 3, Mai 1980, S. 211–233. <a href="https://doi.org/10.1016/0001-6918(80)90046-3" class="extiw external" title="doi:10.1016/0001-6918(80)90046-3">doi:10.1016/0001-6918(80)90046-3</a></li>

<li>D. Kahneman, A. Tversky: <i>On the psychology of prediction.</i> In: <i>Psychological Review.</i> Band 80, 1973, S. 237–251. <a href="https://doi.org/10.1037/h0034747" class="extiw external" title="doi:10.1037/h0034747">doi:10.1037/h0034747</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://faculty.babson.edu/krollag/org_site/soc_psych/kan_tver_pred.html">Zusammenfassung</a>)</li>

<li>R. E. Nisbett, E. Borgida, R. Crandall, H. Reed: <i>Popular induction: Information is not always informative.</i> In: J. S. Carroll, J. W. Payne (Hrsg.): <i>Cognition and social behavior.</i> Band 2, 1976, S. 227–236.</li>

<li><a href="Gerd_Gigerenzer" title="Gerd Gigerenzer">Gerd Gigerenzer</a>: <i>Das Einmaleins der Skepsis. Über den richtigen Umgang mit Zahlen und Risiken.</i> Berlin 2002, ISBN 3-8270-0079-3.</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.fallacyfiles.org/baserate.html">The Base Rate Fallacy.</a> The Fallacy Files</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.cia.gov/library/center-for-the-study-of-intelligence/csi-publications/books-and-monographs/psychology-of-intelligence-analysis/art15.html#ft145">Psychology of Intelligence Analysis: Base Rate Fallacy</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doh.wa.gov/sites/default/files/2022-02/421-010-CasesInNotFullyVaccinated.pdf">COVID-19 Hospitalizations and Deaths by Vaccination Status in Washington State</a></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Samuel Lindsey, Ralph Hertwig, Gerd Gigerenzer: <i>Communicating Statistical DNA Evidence.</i> In: <i>Jurimetrics.</i> Band 43, 2003, S. 147–163, <a href="JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.jstor.org/stable/29762803">29762803</a>.</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">A. Tversky, D. Kahneman: <i>Availability: A heuristic for judging frequency and probability.</i> In: <i>Cognitive Psychology.</i> Band 42, 1973, S. 207–232, <a href="https://doi.org/10.1016/0010-0285(73)90033-9" class="extiw external" title="doi:10.1016/0010-0285(73)90033-9">doi:10.1016/0010-0285(73)90033-9</a>.</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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